El Caos y los Fractales

Teoría del caos

 Es una rama de las matemáticas, la física y otras ciencias ( biología, meteorología, economía entre otras) que trata ciertos tipos de sistemas complejos y sistemas dinámicos no lineales muy sensibles a las variaciones en las condiciones iniciales. Por lo cual pequeños cambios o variaciones en las condiciones iniciales pueden provocar grandes diferencias, imposibilitando la predicción a corto plazo. Esto sucede aunque sean sistemas deterministas, los cuales se puede predecir su comportamiento conociendo y determinando las condiciones iniciales.

Definición

Esta teoría declara que existen ciertos comportamientos que son impredecibles, pues dependen de diversas variables como lo son el tiempo, en sistemas dinámicos, e interacciones, por los sistemas complejos.

pendulo doble

Clasificación de los sistemas

Los sistemas dinámicos se pueden clasificar en:

Estables, cuando dos soluciones con condiciones iniciales suficientemente cercanas siguen siendo cercanas a lo largo del tiempo. Así, un sistema estable tiende a lo largo del tiempo a un punto, u, órbita, según su dimensión ( atractor o sumidero )

Inestables, cuando dos soluciones con condiciones iniciales diferentes acaban separándose poco a poco por las pequeñas diferencias con respecto al inicio

Caóticos, .cuando el sistema no es inestable y si bien las dos soluciones se mantienen a una distancia finita cercana a un atractor del sistema dinámico, las soluciones se mueven en torno al atractor de manera irregular y pasado el tiempo ambas soluciones no son cercanas, si bien suelen ser parecidas. De esta manera, el sistema permanece en una zona de su espacio, pero sin tener un atractor fijo

Una de las principales características entre los sistemas iniciales y los caóticos es que poseen una gran dependencia de las condiciones iniciales ( esto los diferencia de los sistemas estables ). Si las condiciones iniciales están fijas, se puede conocer su evolución a través del tiempo, pero en el caso de los caóticos, a la mínima diferencia en esas condiciones, el sistema evolucionara de forma totalmente distinta.

Los atractores

 Un atractor es un conjunto de valores numéricos hacia los cuales un sistema tiende a evolucionar, dada una gran variedad de condiciones iniciales en el sistema. Para que un conjunto sea un atractor, las trayectorias que estén próximas han de seguir cercanas aunque sean ligeramente perturbadas.

 Geométricamente un atractor puede ser un punto, una curva, una variedad o incluso un conjunto complicado de una estructura fractal conocido como un atractor extraño.

De acuerdo a la evolución de sus trayectorias, se pueden clasificar en :

Atractor de un punto fijo: el cual tiende a estabilizarse en un punto fijo

Atractor de ciclo limite o atractor periódico : el cual tiene un periodo igual para siempre

Atractor caótico : el cual aparece en sistemas no lineales que tienen una gran sensibilidad a las condiciones.

modelo matemático

El atractor de Lorenz

Atractores extraños

Los movimientos tienden a suceder en atractores simples, tales como puntos y curvas circulares llamadas ciclos limite. En cambio, el movimiento caótico esta ligado a estos atractores extraños, que pueden llegar a tener una enorme complejidad.

Los atractores extraños estan presentes tanto en sistemas continuos dinámicos como en algunos sistemas discretos.

El teorema de Poincare muestra que un atractor extraño solo puede encontrarse en un sistema continuo dinámico si tiene tres o mas dimensiones. Sin embargo, tal restricción no se aplica a los sistemas discretos, los cuales pueden exhibir atractores extraños en dos o incluso una dimensión.

Definición de caos y atractores

No hay una definición universal del caos en si, pero si posee tres cualidades:

1_Movimiento oscilante. Las trayectorias no se ajustan a un punto fijo, órbita periódica u órbita cuasiperiodica cuando t --> ∞

2_Determinismo. El sistema no es al azar sino determinista. El comportamiento irregular, en dimensión finita, surge de la no linealidad. 

3_ Sensibilidad a las condiciones. Las trayectorias que comienzan cerca, como el tiempo se separan exponencialmente. Es decir, que las condiciones iniciales muy similares acaban dando lugar a comportamientos deferentes pasado cierto periodo de tiempo.

Los sistemas caótico se caracterizan por ser modelizables mediante un sistema dinámico que posee un atractor.

Un poco de historia

El caos y los fractales son parte de un tema mas amplio, la dinámica, la cual es una rama de la física que empezó a mediados de 1600 cuando Isaac Newton descubrió las ecuaciones diferenciales, las leyes de movimiento y la gravitación general. Con estos elementos Newton resolvió problemas con dos cuerpos que interactuan por medio de la gravedad pero, lo que le llamaba la atención era el movimiento de la luna y su generalización conocido como el problema de los tres cuerpos.

Isaac Newton ( 1643 - 1727 )

En 1776 el matemático francés Pierre Simón de Laplace comenzó a publicar volúmenes, del Traite de Mecanique Celeste, donde el autor afirmaba que si se conociera la velocidad y posición de todas las partículas del universo en un instante, se podría predecir su pasado y su futuro, esto se conoció como El determinismo laplaciano.

Pierre Simón de Laplace (1749 - 1827)

A finales del siglo XIX Henri Poincare, matemático francés, introdujo un nuevo punto de vista al preguntarse si el sistema solar seria estable para siempre. Poincare fue el primero en pensar en la posibilidad del caos, en el sentido de un comportamiento que dependiera senciblemente de las condiciones iniciales. En 1903 Poincare postulo acerca de lo aleatorio y el azar en los siguientes términos :

" El azar no es mas que la medida de la ignorancia del hombre " Henri Poincare (1854 - 1912 )"

reconociendo, a su vez, la existencia de innumerables fenómenos que no eran aleatorios, sino que no respondían a una dinámica lineal, en donde los pequeños cambios en las condiciones iniciales podían producir grandes cambios en el resultado. 

Henri Poincaré (1854 - 1912 )

El comienzo de la reciente historia del caos se situa en la década de 1950 cuando se inventaron los ordenadores y se desarrollaron algunas intuiciones sobre el comportamiento de los sistemas no lineales.

En 1963 Edward Lorenz trabajaba en unas ecuaciones, las mundialmente conocidas como ecuaciones de Lorenz, que esperaba que predijeran el tiempo en la atmósfera, y trato mediante los ordenadores de ver gráficamente el comportamiento de sus ecuaciones. Se dice que como los ordenadores andaban muy lentos en aquellos tiempos Lorenz se fue a tomar un te mientras el ordenador hacia los calculos, y cuando regreso se encontro con una figura que hoy en día se conoce como atractor de Lorenz.

Pensó que había cometido un error y volvió a ejecutar el programa repetidas veces, logrando siempre el mismo resultado y entonces se dio cuenta de que algo pasaba con el sistema de ecuaciones simplificando lo que estaba trabajando. Después de estudiar el problema y hacer pruebas con diferentes parámetros, llego a la conclusión de que las simulaciones eran muy diferentes para condiciones iniciales muy próximas.

Edward Lorenz (1917 - 2008 )

En 1971 David Ruelle y Floris Takens propusieron una nueva teoría para la turbulencia de fluidos basada en un atractor extraño. Años después el ecólogo Robert May en 1976 encontro ejemplos de caos en la dinámica de poblaciones usando la ecuación logística discreta. Después Feigenbaum, descubrió que hay un conjunto de leyes universales concretas que diferencian la transicion entre el comportamiento regular y el caos, por lo tanto, es posible que dos sistemas evolucionen hacia un comportamiento caótico por igual.

Robert May ( 1936 - 2020 )

Sección a cargo de Aguilar Hermes Andrés