El Caos y los Fractales

Teoría del caos

 Es una rama de las matemáticas, la física y otras ciencias ( biología, meteorología, economía entre otras) que trata ciertos tipos de sistemas complejos y sistemas dinámicos no lineales muy sensibles a las variaciones en las condiciones iniciales. Por lo cual pequeños cambios o variaciones en las condiciones iniciales pueden provocar grandes diferencias, imposibilitando la predicción a corto plazo. Esto sucede aunque sean sistemas deterministas, los cuales se puede predecir su comportamiento conociendo y determinando las condiciones iniciales.

Definición

Esta teoría declara que existen ciertos comportamientos que son impredecibles, pues dependen de diversas variables como lo son el tiempo, en sistemas dinámicos, e interacciones, por los sistemas complejos.

pendulo doble

Clasificación de los sistemas

Los sistemas dinámicos se pueden clasificar en:

Estables, cuando dos soluciones con condiciones iniciales suficientemente cercanas siguen siendo cercanas a lo largo del tiempo. Así, un sistema estable tiende a lo largo del tiempo a un punto, u, órbita, según su dimensión ( atractor o sumidero )

Inestables, cuando dos soluciones con condiciones iniciales diferentes acaban separándose poco a poco por las pequeñas diferencias con respecto al inicio

Caóticos, .cuando el sistema no es inestable y si bien las dos soluciones se mantienen a una distancia finita cercana a un atractor del sistema dinámico, las soluciones se mueven en torno al atractor de manera irregular y pasado el tiempo ambas soluciones no son cercanas, si bien suelen ser parecidas. De esta manera, el sistema permanece en una zona de su espacio, pero sin tener un atractor fijo

Una de las principales características entre los sistemas iniciales y los caóticos es que poseen una gran dependencia de las condiciones iniciales ( esto los diferencia de los sistemas estables ). Si las condiciones iniciales están fijas, se puede conocer su evolución a través del tiempo, pero en el caso de los caóticos, a la mínima diferencia en esas condiciones, el sistema evolucionara de forma totalmente distinta.

Los atractores

 Un atractor es un conjunto de valores numéricos hacia los cuales un sistema tiende a evolucionar, dada una gran variedad de condiciones iniciales en el sistema. Para que un conjunto sea un atractor, las trayectorias que estén próximas han de seguir cercanas aunque sean ligeramente perturbadas.

 Geométricamente un atractor puede ser un punto, una curva, una variedad o incluso un conjunto complicado de una estructura fractal conocido como un atractor extraño.

De acuerdo a la evolución de sus trayectorias, se pueden clasificar en :

Atractor de un punto fijo: el cual tiende a estabilizarse en un punto fijo

Atractor de ciclo limite o atractor periódico : el cual tiene un periodo igual para siempre

Atractor caótico : el cual aparece en sistemas no lineales que tienen una gran sensibilidad a las condiciones.

modelo matemático

El atractor de Lorenz

Atractores extraños

Los movimientos tienden a suceder en atractores simples, tales como puntos y curvas circulares llamadas ciclos limite. En cambio, el movimiento caótico esta ligado a estos atractores extraños, que pueden llegar a tener una enorme complejidad.

Los atractores extraños estan presentes tanto en sistemas continuos dinámicos como en algunos sistemas discretos.

El teorema de Poincare muestra que un atractor extraño solo puede encontrarse en un sistema continuo dinámico si tiene tres o mas dimensiones. Sin embargo, tal restricción no se aplica a los sistemas discretos, los cuales pueden exhibir atractores extraños en dos o incluso una dimensión.

Definición de caos y atractores

No hay una definición universal del caos en si, pero si posee tres cualidades:

1_Movimiento oscilante. Las trayectorias no se ajustan a un punto fijo, órbita periódica u órbita cuasiperiodica cuando t --> ∞

2_Determinismo. El sistema no es al azar sino determinista. El comportamiento irregular, en dimensión finita, surge de la no linealidad. 

3_ Sensibilidad a las condiciones. Las trayectorias que comienzan cerca, como el tiempo se separan exponencialmente. Es decir, que las condiciones iniciales muy similares acaban dando lugar a comportamientos deferentes pasado cierto periodo de tiempo.

Los sistemas caótico se caracterizan por ser modelizables mediante un sistema dinámico que posee un atractor.

Un poco de historia

El caos y los fractales son parte de un tema mas amplio, la dinámica, la cual es una rama de la física que empezó a mediados de 1600 cuando Isaac Newton descubrió las ecuaciones diferenciales, las leyes de movimiento y la gravitación general. Con estos elementos Newton resolvió problemas con dos cuerpos que interactuan por medio de la gravedad pero, lo que le llamaba la atención era el movimiento de la luna y su generalización conocido como el problema de los tres cuerpos.

Isaac Newton ( 1643 - 1727 )

En 1776 el matemático francés Pierre Simón de Laplace comenzó a publicar volúmenes, del Traite de Mecanique Celeste, donde el autor afirmaba que si se conociera la velocidad y posición de todas las partículas del universo en un instante, se podría predecir su pasado y su futuro, esto se conoció como El determinismo laplaciano.

Pierre Simón de Laplace (1749 - 1827)

A finales del siglo XIX Henri Poincare, matemático francés, introdujo un nuevo punto de vista al preguntarse si el sistema solar seria estable para siempre. Poincare fue el primero en pensar en la posibilidad del caos, en el sentido de un comportamiento que dependiera senciblemente de las condiciones iniciales. En 1903 Poincare postulo acerca de lo aleatorio y el azar en los siguientes términos :

" El azar no es mas que la medida de la ignorancia del hombre " Henri Poincare (1854 - 1912 )"

reconociendo, a su vez, la existencia de innumerables fenómenos que no eran aleatorios, sino que no respondían a una dinámica lineal, en donde los pequeños cambios en las condiciones iniciales podían producir grandes cambios en el resultado. 

Henri Poincaré (1854 - 1912 )

El comienzo de la reciente historia del caos se situa en la década de 1950 cuando se inventaron los ordenadores y se desarrollaron algunas intuiciones sobre el comportamiento de los sistemas no lineales.

En 1963 Edward Lorenz trabajaba en unas ecuaciones, las mundialmente conocidas como ecuaciones de Lorenz, que esperaba que predijeran el tiempo en la atmósfera, y trato mediante los ordenadores de ver gráficamente el comportamiento de sus ecuaciones. Se dice que como los ordenadores andaban muy lentos en aquellos tiempos Lorenz se fue a tomar un te mientras el ordenador hacia los calculos, y cuando regreso se encontro con una figura que hoy en día se conoce como atractor de Lorenz.

Pensó que había cometido un error y volvió a ejecutar el programa repetidas veces, logrando siempre el mismo resultado y entonces se dio cuenta de que algo pasaba con el sistema de ecuaciones simplificando lo que estaba trabajando. Después de estudiar el problema y hacer pruebas con diferentes parámetros, llego a la conclusión de que las simulaciones eran muy diferentes para condiciones iniciales muy próximas.

Edward Lorenz (1917 - 2008 )

En 1971 David Ruelle y Floris Takens propusieron una nueva teoría para la turbulencia de fluidos basada en un atractor extraño. Años después el ecólogo Robert May en 1976 encontro ejemplos de caos en la dinámica de poblaciones usando la ecuación logística discreta. Después Feigenbaum, descubrió que hay un conjunto de leyes universales concretas que diferencian la transicion entre el comportamiento regular y el caos, por lo tanto, es posible que dos sistemas evolucionen hacia un comportamiento caótico por igual.

Robert May ( 1936 - 2020 )

Mundo fractálico

¿cuánto miden las costas de Gran Bretaña? Les presentó una pequeña reseña histórica de los inicios del fractal .
 

Fractales en el Arte

Fractales en el Arte

 

        En este ámbito, un fractal es una forma de arte algorítmico creada al calcular objetos fractales y representa los resultados del cálculo como, imágenes fijas, animaciones, medios e incluso música.

     Los mismos pueden parecer casuales a primera vista, pero cada uno está formado por un solo  patrón geométrico que se reproduce miles de veces a diferentes escalas, como las muñequillas  rusas contenidas unas dentro de otras. Son frecuentemente los restos visibles de sistemas caóticos, sistemas que obedecen a reglas internas de organización, pero son tan sensibles a pequeños cambios que su comportamiento a largo plazo es difícil de predecir. Si un huracán es un sistema caótico, el destrozo que deja a su paso es un patrón fractal.

        El arte fractal se desarrolló a partir de mediados de la década de 1980 en adelante. Es un género de arte informático y arte digital que forman parte del arte de los nuevos medios. La belleza matemática de los fractales se encuentra en la intersección del arte generativo y el arte de la computadora. Se combinan para producir un tipo de arte abstracto.                                  

 Se asumió que el arte fractal no podría haberse desarrollado sin computadoras debido a las capacidades de cálculo que proporcionan. Los fractales se generan aplicando métodos iterativos para resolver ecuaciones no lineales o ecuaciones poli nominales. Estos son cualquiera de varias curvas o formas extremadamente irregulares para las cuales cualquier parte elegida adecuadamente tiene una forma similar a una parte mayor o menor determinada cuando se amplía o se reduce al mismo tamaño.                                                                                                          

     Por lo general, se crea de forma indirecta con la ayuda de software generador de fractales, que se repite en tres fases: el ajuste de los parámetros que rigen la generación de la imagen, la realización de los cálculos y, finalmente, la aplicación de los resultados a un plano para la generación de una imagen. En algunos casos, se utilizan otros programas de gráficos para modificar aún más las imágenes producidas. Esto se llama post-procesamiento.

Jackson Pollock es un artista que en su trabajo tiene fractales.

https://www.youtube.com/watch?v=sQlNJzQXhIA

 

Fractales en la naturaleza.

 Fractales en la naturaleza..

    Los fractales naturales son objetos naturales que se pueden representar con muy buena aproximación mediante fractales matemáticos con autosimilaridad estadística. Los fractales encontrados en la naturaleza se diferencian de los fractales matemáticos en que los naturales son aproximados o estadísticos y su autosimilaridad se extiende solo a un rango de escalas (por ejemplo, a escala cercana a la atómica su estructura difiere de la estructura macroscópica).

    No todo en la naturaleza es bucólico y ya sabemos que en ella existen numerosos ejemplos donde la geometría fractal hace acto de presencia, como si nos retara a discurrir y jugar. Estructuras naturales que observamos a menudo y que están basadas en principios matemáticos.

    Uno de los modelos más conocidos para representar los fractales naturales es el brócoli Romanesco. También los helechos, que presentan la misma descripción como individuo que sus hojas o partes más pequeñas; numerosas plantas crasas o las bellas dalias, son otros buenos ejemplos. 

    Un fractal natural es un elemento de la naturaleza que puede ser descrito mediante la geometría fractal. Las nubes, las montañas, el sistema circulatorio, las líneas costeras o los copos de nieve son fractales naturales. Esta representación es aproximada, pues las propiedades atribuidas a los objetos fractales ideales, como el detalle infinito, tienen límites en el mundo natural.

Claro que en el caso de la naturaleza no nos referimos a fractales estrictos, como sucede en los modelos teóricos matemáticos; es decir, que si nuestra observación se prolonga hacia el infinito llega un momento en que esa estructura fractal termina.

“La geometría fractal es un nuevo idioma que, una vez aprendido, nos permitirá describir la caprichosa forma de una masa nubosa tan precisamente como un arquitecto describe en sus planos la casa a construir”  

--Michael Barnsley, Inglaterra 1948

“En la geometría fractal, el proceso responsable de un intrincado y complejo fenómeno puede ser sorprendentemente simple” Pero “La simplicidad de un proceso no debe llevarnos a desdeñar sus posibles consecuencias, que a menudo pueden ser altamente complejas”

  --Aniceto Murillo

Generación Fractal

“A principios del 2019 conocí unas   imágenes “generadas informáticamente” que resultaban ser hermosas, con diseños que se repetían recursivamente. Recabando  información e investigando el tema, entendí  que se trataba de fractales, y que no solo eran” imágenes bonitas” sino que además estaban muy  relacionadas con la matemática, razón por la cual quise continuar profundizando. Pero las explicaciones encontradas  a través de diversos recursos, hacían referencia a algunos conjuntos más “sencillos” (y no por eso menos interesantes), pero que no se parecían a los diseños tan bonitos que esperaba; estos últimos aparecían junto con conceptos matemáticos bastante más engorrosos, algoritmos aplicados que no sabía, el cómo ni por qué eran utilizados, en fin, un montón de palabras pero sin una aplicación concisa-entendible, capaz de relacionar teoría y práctica, más aun que ésta práctica se base en el cálculo y se relacione estrictamente con imágenes generadas a través de una computadora.

 Motiva esto el mostrar un posible camino que nos permita llegar a la creación de estas imágenes, recurriendo al conocimiento matemático necesario para provocarlas, pero preocupados más bien por su aprovechamiento, y no tanto en su profundización. En el caso de los alumnos de enseñanza media, esta actividad puede ser útil para ver aplicaciones de algunos contenidos curriculares como ser: sucesiones y series, convergencia- divergencia, el conjunto de los números complejos, (sus expresiones y operaciones, en particular potencia en C), polinomios en C, polinomios  de variable real como una acotación de polinomio de variable compleja, y ceros de este polinomio.

Por otra parte los estudiantes más avanzados podrán profundizar mucho más en estos mismos conceptos, vinculando materia específicas como algebra y geometría, didáctica de la matemática, calculo numérico -historia de la matemática, y de manera interdisciplinar con TIC”.

En la medida que avancemos en el escrito trataremos  los contenidos matemáticos vinculados, e  iremos viendo a la par cómo trabajar con ellos en un software libre.

¿Qué es un fractal?

Sabemos que un fractal es un objeto geométrico, cuyo patrón se autorreplica infinitamente a escalas menores capaces de producir formas y superficies novedosas que escapan de los dominios de la geometría clásica. ¿Pero como gozar de su belleza?, tan solo verlos no es suficiente, ¿ cómo podemos generarlos?.

Dado que los fractales se basan en la repetición constante de patrones geométricos auto afines, es decir  que una porción de ellos es idéntica al todo, en la obtención de los mismos, convergen belleza, arte, matemáticas y tecnología.

Normalmente un fractal se construye mediante una fórmula o función que se va iterando tantas veces como uno desee,(entendiéndose por iteración al proceso por el cual una ecuación se repite sucesivamente).

Si entramos en formalidades, Mandelbrot definió un fractal como “un conjunto cuya dimensión de Hausdorf Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica”. Dado que estos conceptos son un tanto engorrosos por ser avanzados, nos dan una idea suficiente para pensar en figuras que tienen área finita y perímetro infinito. Ejemplo de ello son el conjunto de cantor , el triangulo de sierpinsky, el copo de nieve de koch, el conjunto de julia y el ya nombrado conjunto de mandelbrot.

Mi primer fractal

Ya estamos en condiciones de iniciar nuestro dibujo de una imagen fractal. Comenzaremos eligiendo una función adecuada y sencilla, para que los cálculos internos que deba realizar el programa no sean demasiado exigentes. Luego veremos el criterio de asignación de color a cada punto, utilizando la función elegida.

Puede haber muchísima variedad en la función que uno elija para generar una imagen fractal, pero las que se agrupan bajo el título de fractales de Newton son bastante sencillas  y responden a una expresión de la forma:

                           z (n+1)= z n- ( p z n / p ' z n)

Aquí p es una función polinómica compleja, y se cumple la curiosidad de que los puntos atractores (aquellos candidatos a ser puntos de convergencia de la sucesión que se obtiene al iterar muchas veces la función, sobre un punto determinado), son precisamente las raíces de p. Pongamos por ejemplo que utilizamos el polinomio p (z)=z3 -1. Tendremos pues tres raíces complejas, candidatas a ser atractores de cada punto del plano. De modo que implícitamente estamos considerando algunas regiones: los complejos que, luego de varias iteraciones, converjan hacia la primera raíz, pertenecerán a la primera región. Análogamente con la segunda y tercera raíces. Y si identificáramos cada región con un color, estaríamos casi estableciendo un criterio para pintar todos los puntos del plano.

¿De qué color pintamos cada punto?

Lo importante es ver cómo va quedando armado el procedimiento. Dado un punto, iteraremos varias veces (ya decidiremos cuántas) la función sobre él. Atendiendo a la imagen obtenida luego de las iteraciones, observaremos a cuál punto a tractor se ha acercado, y en función de esa distancia lo pintaremos. Veamos cómo hacerlo en GeoGebra.

Consideremos un número complejo A1 variable (asociado, inevitablemente, a la celda A1). Por ejemplo, escribamos A1=2+3i. Necesitaremos también definir los tres puntos atractores, que al ser las raíces del polinomio ya mencionado, coinciden con las tres raíces cúbicas de la unidad. Los llamaremos A, B y C, y para hacerlo más sencillo los introduciremos utilizando la notación polar, como sigue: A= (1; 0) B= (1; 2 pi/3) C= (1; 4 pi/3.

 

Ahora debemos iterar la función sobre el punto A1, para analizar su comportamiento. Aprovecharemos la hoja de cálculo, e iremos calculando las sucesivas iteraciones en la fila 2, hasta alcanzar un número que nos preestablezcamos (10, por ejemplo). En la celda B1 ingresaremos la expresión de la función: =A1– (A1^{^3} –1)/ (3 A1²). Para continuar iterando la función no es necesario volver a escribirla, basta copiar la fórmula hacia las celdas de la derecha, para que GeoGebra actualice las variables en la fórmula. Para ello, seleccionando la celda B2, arrastramos desde el pequeño cuadrado azul que se ve en el extremo inferior derecho de la celda, hasta alcanza la columna K1. Habrán aparecido también todos los puntos resultantes de cada iteración representados en la vista gráfica. Si movemos el punto A2, veremos moverse toda la lista de puntos, y también podremos apreciar cómo se acercan a uno u otro atractor dependiendo de la posición de A1. Nuestra pantalla se verá así:

Las imágenes fractales más “profesionales” tienen en cuenta varias cosas para asignar el color de cada punto: no sólo a qué atractor corresponden, sino también la velocidad de convergencia (es decir, cuántas iteraciones son necesarias para que se acerquen al atractor menos de una distancia estipulada). En nuestro trabajo no nos detendremos en la velocidad de convergencia, simplemente asignaremos el color en función de la cercanía a cada atractor luego de varias iteraciones. Nos ayudará el hecho de haber elegido un polinomio con tres raíces (tres atractores, A, B y C), ya que asignaremos un color a cada uno. Para que sea evidente a qué región pertenece el punto (A1, en nuestro ejemplo), buscaremos asignar el color dinámico de tal manera que cuanto más cercano esté el punto (K1, en nuestro ejemplo) de un atractor, la intensidad de la componente de color correspondiente sea mayor; y si está alejado, que la componente se vaya anulando. Fijemos ideas pensando que al atractor A asociaremos el color rojo. Estamos necesitando una función que, según la posición del punto K1 sea cercana a A, ofrezca una imagen cercana a 1; mientras que cuanto más se aleje de A, será más cercana a 0. Aprovechando algunas herramientas del análisis real, elegiremos la función dada por Rojo(A1) = e–dist(A,K1), que en la sintaxis de GeoGebra quedará expresada como exp(-Distancia[A,K1]). (NOTA: esta función cumple con las pretensiones planteadas). Con esta idea, podemos completar los cuadros del color dinámico de A1 de esta manera: Rojo = e–dist(A, K1), Verde = e–dist (B, K1), Azul = e–dist(C, K1). De nuevo, si activamos el trazo del punto A1 y lo agitamos pacientemente por la pantalla, veremos la imagen fractal ira apareciendo. 

 IMAGEN FRACTAL GENERADA CON GEOGEBRA CLASSIC VERSION 5.0

 ¡Hemos creado una imagen fractal! Aunque, a decir verdad, está un poco desprolija. ¿Habrá una manera más sencilla de colorear cada punto?

 

Automatizar el trabajo:

Replicaremos el trabajo arriba expuesto a partir de la celda A2, realizado el primer paso, Dejaremos a la vista sólo el punto A2, y ocultaremos el resto para evitar confusiones. Asimismo, reduciremos el tamaño de A2 al mínimo, para que la imagen final sea de una buena resolución. Luego, definiremos el parámetro a que será la abscisa de nuestra hilera de puntos. Lo definimos como un deslizador en el intervalo [-3, 3] (esto puede variarse a gusto, de acuerdo con el tamaño de la imagen que quiera lograrse), con un incremento del 0.02 y una velocidad de 0.2. Aprovechando a, definimos en la celda A1 el punto (a, 3). Basta mover el deslizador para constatar que el nuevo punto A1 se mueve en simultáneo. Este punto A1 será un extremo de nuestra hilera: a partir de él, y hacia abajo, iremos colocando los nuevos puntos. El primero en agregarse será A2, que lo redefinimos escribiendo A2=A1+ (0,-0.03), lo cual puede interpretarse como una suma de complejos. Obsérvese que esta forma de definir A2 lo hace depender de a indirectamente, y al mover el deslizador, se desplaza A2. Toda la fila 2 de la hoja de cálculo tiene la información necesaria para que el punto A2 funcione correctamente, y además, éste se ha ubicado “un poquito más abajo” del punto A1. Si copiamos la fila 2 en las filas subsiguientes, obtendremos los puntos que necesitamos uno debajo del otro, y se heredarán las propiedades definidas. Seleccionando el rango desde A2 hasta K2, y tomando desde el cuadro azul del extremo inferior derecho, extendamos la selección hasta la línea 200 (puede ser más o menos, según se desee). Ya está casi listo. Si movemos el deslizador a, irá apareciendo el fractal; pero si activamos la animación automática del deslizador (con clic derecho sobre él), la imagen se irá formando lentamente.

ASI DEBIERA QUEDAR:

 

 Los pequeños coeficientes utilizados se pueden modificar, y eso hará variar la calidad y el tamaño de la imagen resultante.

 Ahora que hemos logrado un archivo en GeoGebra capaz de dibujar una imagen fractal, es el momento de guardarlo, para comenzar a “jugar” con él y así obtener muchísimas nuevas imágenes. Para ello deberemos ir variando algunos de los parámetros componentes. Podemos cambiar el polinomio inicial, ofreciendo nuevos puntos atractores (aunque se simplifica bastante la tarea si se consideran polinomios de tercer grado, de modo que haya sólo tres atractores, uno por color). También podemos alterar el polinomio inicial multiplicando el segundo término de la función generadora por un coeficiente (complejo); esos pequeños retoques pueden provocar grandes variaciones en las imágenes. Otro ajuste puede estar en el criterio de asignación de color, abriendo aquí la posibilidad a lo que sea que la imaginación permita concebir. Si se logra idear una función que asigne las componentes de color teniendo en cuenta el tema de los atractores, podemos lograr imágenes muy llamativas. 

Fractales: Origen y Características

¿ Que es un Fractal ?

 Ya que iniciamos, me pregunto ¿ Que es un fractal?, la palabra Fractal proviene de la palabra en latin  fractus, derivada de la palabra  frangere, que significa romper, fracturar o hacer fragmentos irregulares.

En si un fractal, es un objeto geométrico compuesto de elementos, también geométricos, de tamaño y orientación variable, pero de aspecto similar. Muchos de estos llamados objetos fractales, tienen una particularidad curiosa y es que si lo aumentamos de tamaño o acercamos nuestra vista al fractal notaremos que los elementos que aparecen vuelven a tener el mismo aspecto independientemente de cual sea la escala que utilizamos y formando parte, como un mosaico, se dice que tienen una estructura geométrica recursiva, esta propiedad es conocida como autosimilaridad. El que cada elemento de orden mayor este compuesto a su vez, por elementos de orden menor, como sucede con las ramas de un árbol es lo que da estructura recursiva a los fractales

Caracteristicas de los fractales:

• Autosimilaridad: anteriormente lo habiamos defindo como las caracteristicas que presentan determinados objetos en los cuales los detalles mas pequeños que lo componen tienen alguna relacion con sus propiedades globales, repitiendose tales detalles de forma infinita         
• Dimension Fractal o Dimension de Hausdorff: es considerado el concepto de la Geometria Fractal, ya que los objetos fractales se caracterizan por poseer dimension fraccionaria.

Todavía en proceso...

Benoît Mandelbrot

 

Nacionalidad	Polaca Francesa Estadounidense

Nacimiento	20 de noviembre de 1924
Fallecimiento	14 de octubre de 2010

Cónyuge	Aliette Kagan

Causa de la muerte	Cáncer de páncreas

Su familia era de una cultura judía y emigraron a Francia en 1936 y su tío Szolem Mandelbrot, profesor de matemáticas en el Collège de France y sucesor de Hadamardost en este puesto, toma responsabilidad de su educación. Inicio en el mundo de las matemáticas gracias a dos de sus tíos.

Para resumir lo siguiente fue profesor de: 

• Economía
• Ingenieria
• Fisiología
• Medicina
• Matemáticas

Cursó estudios en universidades de Francia y de Estados Unidos, doctorándose en Matemáticas por la Universidad de París en el año 1952. Profesor de economía en la Universidad de Harvard, ingeniería en Yale, fisiología en el Colegio Albert Einstein de Medicina, y Matemáticas en París y Ginebra.

Es el principal creador de la Geometría Fractal, al referirse al impacto de esta disciplina en la concepción e interpretación de los objetos que se encuentran en la naturaleza, en su libro "Fractal Geometry of Nature" publicado en 1982. La geometría fractal se distingue por una aproximación más abstracta a la dimensión de la que caracteriza a la geometría convencional.

Controversias: Mandelbrot indicó la sobrevaloración de las matemáticas basadas en análisis algebraico desde el siglo XIX y otorgó igual importancia a la geometría y al análisis matemático visual, análisis para el que él estaba especialmente dotado, sobre la que mantuvo que se han hecho logros igual o más importantes como los de los antiguos griegos o Leonardo. Esta visión poco ortodoxa le costó duras críticas por parte de los matemáticos más 'puros', especialmente al inicio de su carrera.

Actualmente Se le conoce como el «padre de los fractales» por haber descubierto uno de los patrones más importantes de la naturaleza. Este patrón se puede encontrar en todo el mundo natural conocido como "fractales", Pero los fractales también se pueden usar para describir cómo funcionan las cosas en astronomía, informática, economía, finanzas e incluso en el mercado de valores.

Honores y premios: 

• En 1985 recibió el premio Barnard Medal
• En los años siguientes recibió la medalla Franklin
• En 1987 fue galardonado con el premio Alexander von Humboldt
• En 1988 recibió la Medalla Steindal
• En 1991 la Medalla Nevada

«Si se recapitula la historia de la ciencia, la búsqueda de las cosas más simples de estudiar (por ejemplo, el desplazamiento de los planetas) no es algo importante para la vida cotidiana, pero ha fascinado a la humanidad durante mucho tiempo, en parte por la religión, en parte por el hecho de que se ve muy sencillo, se trata de ciclos reiterativos».

«Pero a mí siempre me fascinó la idea de buscar la simplicidad en el desorden».

«Con la geometría fractal la naturaleza se volvió más ordenada, organizada… más atractiva».

Conjunto de Mandelbrot: